Transformations in the plane. Vectors. Mosaics.

INTRODUCING VECTORS:

First of all it would be better for you to know something about  vectors. You can get this information in Spanish  and in English too.

Click here  for learning how to represent vectors and how to calculate its components and magnitude.

In the video below you can learn how to do operations with vectors: addition and substraction:

 

TRANSFORMATIONS, CONGRUENCE AND SIMILARITY:

In this webpage (www.khanacademy.org) you will find all about transformations in the plane.

SOME HINTS FOR PERFORMING TRANSFORMATIONS IN THE COORDINATE PLANE:

If you want to perform a TRASLATION, you need a VECTOR. The componets of the vector give you the directions for getting the translated point.

  • the first component moves the point in the horizontal direction.
    • negative value translates the point to the left
    • positive value translates the point to the right
  • the second component moves the point in the vertical direction
    • negative value translates the point down
    • positive value translates the point up

The ROTATION around the origin transform one point into another one. The rotation depends on the degrees of the angle.

  • point (x,y) change into point (-y,x) after a 90º rotation
  • point (x,y) change into point (-x,-y) after a 180º rotation
  • point (x,y) change into point (y,-x) after a 270º rotation

A REFLECTION is a transformation in which each point of a figure has an image that is equal in distance from the line of reflection but on the opposite side. A reflection is a type of transformation known as a flip.

  • You can perform REFLECTION over the line x or over the line y. Two other ways can be applied for performing reflections: the second one is around the origin and the third one is across the line x = y.
  • The figure will not change size or shape. That means that the image is congruent to the preimage.
  • A reflection maps every point of a figure to an image across a fixed line. The fixed line is called the line of reflection.

Learn about geometric transformations and how they’re used to understand the meaning of “similar” and “congruent”.

Symmetric figures.

Now, if you want to practice geometric transformations, you can visit this webpage

Beside this, you will practice TRANSFORMATIONS IN THE PLANE by clicking these EXERCISES.

Enjoy it!!

Before talking about mosaics, I would like you to understand the relationship between MATHS and BEAUTY. Click on the next link and find out how wonderful is geometry!

MOSAICOS:

Un MOSAICO es un patrón hecho de figuras idénticas, y para ser mosaico debe cumplir las siguientes condiciones:tessellation1
* las figuras deben encajar juntas sin dejar espacio entre ellas
* las figuras no deben sobreponerse unas a otras

El mosaico que ves a la derecha está hecho con cuadrados y octágonos.

Existen muchas formas de obtener un mosaico. Los más sencillos están formados por polígonos regulares del mismo tipo (por ejemplo cuadrados, o hexágonos regulares, o triángulos equiláteros), pero también se pueden formar mosaicos combinando varios tipos de polígonos.

Si echamos la vista atrás, distintas culturas a lo largo de la historia han abordado la teselación por motivos de distinto tipo: intelectual en Grecia, decorativo en Roma, religioso en el mundo islámico,… En el mundo contemporáneo  el ejemplo más conocido es el del famoso artista holandés M. C. Escher, que dibujó sorprendentes figuras que encajaban entre sí formando bellos mosaicos. Llega a parecer realmente arte de magia cómo lagartos, caballeros o pájaros se acoplan a la perfección cubriendo armoniosamente el plano.

En este enlace  nos proporcionan un mosaico para imprimir y trabajar con los reptiles de Escher.

ESCHER-Y-LOS-MOSAICOS
Mosaico de Escher: los reptiles

Los mosaicos se hacen mediante TESELACIONES, es decir, cubriendo una superficie con un patrón de formas planas de manera que no se superponen ni haya huecos.

Puedes aprender más sobre TESELACIONES. 

Unos de los mosaicos más famosos son los MOSAICOS DE LA ALHAMBRA.

Si no has tenido la oportunidad de visitarla, a continuación te mostramos algunos ejemplos de la impresionante decoración de este palacio Nazarí:

Alhambra 1

Alhambra 2

Alhambra 3

En el siguiente vídeo podrás entender cómo se han elaborado los mosaicos de la Alhambra y su significado. También aprenderás más sobre ESCHER y sus mosaicos.

Y aquí tienes algunos ejemplos:

mosaicos_alh31
Huesos

Mosaicos Alhambra

 

mosaicos_alh32
Sala del Mexuar

mosaicos_alh36

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