Geometría analítica. Vectores.

La GEOMETRÍA ANALÍTICA es una parte de las matemáticas que combina álgebra con geometría.

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Antes de empezar, vamos a recordar unas nociones básicas sobre vectores y su representación en el plano.

VECTORES

Un vector es un segmento orientado que queda determinado por dos puntos, A y B. Uno de ellos será el punto origen, y el otro el punto extremo. Según el orden de estos puntos el vector será AB (origen A y extremo B) o vector BA (origen B y extremo A). Se simbolizan por las letras mayúsculas de esos dos puntos con una flecha encima. También se pueden simbolizar por una sola letra (u, v, w, etc) cuando no se indican los puntos origen y extremo.

simbolo-de-vector

Todo vector tiene tres elementos:

  • Módulo: de un vector AB es el valor numérico del vector que viene dado por la longitud del segmento AB o la distancia entre los puntos origen y extremo.
  • Dirección: es la recta sobre la que se sitúa el vector. Cualquier recta paralela a ésta, determina la dirección del vector.
  • Sentido: Para una misma dirección, hay dos sentidos. El sentido del vector lo indica el recorrido del mismo, es decir, desde el origen al extremo.

CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR

El par de números que expresan un vector son las COMPONENTES DEL VECTOR.

Para representar un vector en el plano basta con situar el punto origen y el punto extremo en el plano, unirlos y situar la flecha, que nos indicará la dirección del vector, del origen al extremo.

En el caso del vector  AB, conocidos el origen A (1 , 3) y el extremo B (3 , 1), procedemos tal y como se ha explicado y ya tenemos el vector trazado.

vectores

 

Para saber las componentes del vector  tenemos que restar EXTREMO MENOS ORIGEN,  es decir, a las coordenadas del punto extremo le restamos las coordenadas del punto origen:

AB= B – A=  (3-1, 1-3) = (2 , -2)

Las componentes del vector nos dan las indicaciones que debemos seguir para trazarlo:

  • La primera componente nos da el desplazamiento en dirección horizontal, (positiva si es a la derecha, y negativa si es a la izquierda) y
  • la segunda componente del vector nos da el desplazamiento en dirección vertical (positiva si es hacia arriba, y negativa si es hacia abajo)

Desde el punto origen A nos desplazamos 2 lugares a la derecha, y de ahí, dos lugares hacia abajo.

Vamos a calcular ahora las componentes de los demás vectores representados:

EF = (4,4) – (1,4) = (4-1, 4-4)= (3, 0)

HG = (-3, 3) – (-1, 1) = (-3- (-1), 3-1 ) (-2, 2 )

LM = (-4, -4) – (-4, -1) = ( -4 – (-4), -4-(-1)) = (0, -3)

A continuación vamos a representar vectores en el plano dadas sus componentes, sin conocer su punto origen ni su punto extremo. En ese caso los representaremos en cualquier parte del plano.

Vamos a representar el vector  (2, 3)

Esto significa que nos situamos en cualquier punto del plano, por ejemplo en el origen de coordenadas (0,0), y a partir de ahí seguimos las indicaciones que nos dan las componentes del vector (en color verde):

  • 2 unidades a la derecha
  • 3 unidades hacia arriba

 

vectores-2

Este vector lo podríamos representar tomando como origen cualquier otro punto del plano y obtendríamos un vector con el mismo módulo que , su misma dirección y su mismo sentido. Estos vectores que tienen igual módulo, dirección y sentido se llaman VECTORES EQUIPOLENTES.

Pincha en el siguiente enlace y podrás descargarte la información sobre vectores que hemos visto en clase.

ECUACIONES DE LA RECTA

Pincha en el siguiente enlace  y podrás descargarte el documento en el que se explica cómo se obtienen las ecuaciones de la recta.

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